Descompresión y modelo VPM 

Formulación del modelo en el programa de C.W.Baker, en el sistema de unidades MKS 

NOTA: En toda la formulación que sigue, aplico las expresiones existentes en el programa de Baker, aunque ello no quiera decir que participe en su opinión en algunas de las fórmulas empleadas en este programa. En un artículo posterior desarrollaré otras formulaciones que expresarán mi propia opinión al respecto. 

1) Constantes de presión y gases en alvéolos, compartimentos y burbujas 

1 atmósfera = 1,01325 bares

1 bar = 100.000 pascales (unidad de presión en el sistema MKS)

En lo que sigue se usa como unidad de presión el “bar”, introduciendo las constantes necesarias para ajustar la formulación a unidades de “bares” en sustitución de los “pascales”.

10 metros de agua marina = 1 bar 

Porcentaje de nitrógeno en el aire: 79% (nitrógeno y gases distintos al oxígeno)

Porcentaje de oxígeno en el aire: 21% 

Vapor de agua en los alvéolos (PVa): 0,0493 bares

Presión ambiente (Pamb) = Profundidad / 10 + Presión atmosférica (Patm) 

Presión de Nitrógeno Inspirado (en alvéolos, en superficie), PNiSup:

 (Patm – PVa) x 0,79

PNiSup = 0,7615 bares 

Presión Inspirada Inicial de Nitrógeno (en alvéolos), PInsIniNi:

            (PAmbIni – PVa) x FNi

FNi: Fracción de Nitrógeno 

Presión Inspirada Inicial de Helio (en alvéolos), PIHalv:

(PambI – PVa) x FHe

           FHe: Fracción de Helio 

            Tensión de gas disuelto en situación de saturación:

Tensión Inicial de Nitrógeno (gas disuelto), TIniNi = Presión inspirada de Nitrógeno (en alvéolos) 

Esta situación de saturación solo se da cuando nos encontramos a una presión constante durante más de unos 3 días (para el compartimento más lento), por lo que solo se va a dar al comenzar una inmersión, si no hemos cambiado de altitud ni realizado una inmersión, desde hace más de 3 días 

En esas condiciones, la TIniNi = PNiSup = 0,7615 bares. 

Tensión de nitrógeno disuelto en el compartimento “i”: TNi(i)

En descenso y ascenso, al final del mismo, siendo:

            Velocidad de ascenso/descenso, Vel (metros / min)

            Tiempo de ascenso/descenso, Ti

            Constante de semisaturación del compartimiento “i”: Tss(i)

            Fracción de nitrógeno, FNi

            Tensión de nitrógeno al comienzo del ascenso / descenso: TIniNi(i)

            Profundidad inicial: Pi   Profundidad final: Pf

[1.1]

TNi(i) = PInsIniNi + (TIniNi(i) – PInsIniNi) x  2- Ti / Tss(i) +

+(FNi x (Pf – Pi) /(Td x 10) x [Ti – (Tss(i) / ln(2)) x (1-2- Ti / Tss(i) )] 

Td: tiempo de descenso. 

A profundidad constante

            [1.2]

TNi(i) = TIniNi(i) + (PInsIniNi – TIniNi(i)) x 2-Ti / Tss(i) 

Para el Helio aplican las mismas fórmulas, sin más que sustituir los valores adecuados: THe(i), PInsIniHe, TIniHe(i), TSSH(i) y FHe 

En el programa adjunto, puede obtenerse la curva de carga – descarga de una inmersión en función de la profundidad de fondo, el tiempo de descenso, el tiempo de fondo, el tiempo de ascenso, la mezcla usada y el tiempo de semisaturación del compartimiento considerado. 

La presión ejercida por los gases en el interior de las burbujas (en régimen de permeabilidad), viene dada por: 

            Presión de otros gases en burbujas (CO2, H20, O2) = 0,136 bares.

            Presión debida a los gases en la burbuja: TNi(i) + THe(i) + 0,136

 

1-A) Ejemplos y comentarios 

Usando el programa adjunto (incluido en la carpeta ZIP “FormulasVPM.ZIP” en la sección de descargas), introduzcamos en la pantalla de entrada los siguientes datos: 

Profundidad: 80 metros

Tiempo de descenso: 4 minutos

Tiempo de fondo: 10 minutos

Tiempo de ascenso: 20 minutos

Tiempo de semisaturación del compartimento en observación: 77 minutos (Ni)

Porcentaje de nitrógeno: 40%

Porcentaje de Helio: 45% 

Lo primero que llama la atención es que, para este compartimento, la carga de gases sigue subiendo durante gran parte del ascenso (que se ha modelizado a velocidad constante), especialmente para el nitrógeno. Por tanto, desde el punto de vista de los gases disueltos importa ascender lo más rápidamente posible hasta la primera parada de descompresión para evitar que los compartimentos lentos continúen cargándose y nos aumenten el tiempo de descompresión en las paradas más superficiales. 

Realizando el mismo gráfico con un compartimento rápido, p.e. el de 5 minutos, el Helio inicia su descarga casi inmediatamente después de comenzar el ascenso, mientras que el nitrógeno empieza a descargar tras los primeros minutos de iniciado. Para estos compartimentos la velocidad de ascenso hasta la primera parada de descompresión no tiene mucha importancia (desde el punto de vista del gas disuelto).

 

2) Reducción del radio de las burbujas por el efecto de la compresión. 

La compresión es la diferencia entre la presión ambiente y la presión interna de la burbuja, debida a los gases contenidos en ella: Pcomp = Pamb – SPGi 

La presión de compresión máxima existente en todo el perfil de la inmersión es la que determina la reducción del radio de las burbujas. En descensos a velocidad constante, la compresión máxima se alcanza al llegar a la máxima profundidad. 

[2.1]

GasesBurbuja(i) = PNi(i) + PHe(i) + OtrosGases       

[2.2]

PcompMaxNi(i) = (Pf / 10 + Atmósfera) – GasesBurbuja(i)

PcompMaxHe(i) = (Pf / 10 + Atmósfera) – GasesBurbuja(i) 

Si la compresión no alcanza el valor de impermeabilidad, el radio final viene dado por las fórmulas: 

[2.2] y [2.3]

RadioNiFinal(i) = 1 / {PcomMaxNi(i) / [20 x (gc - g)] + 1 / (RadioNiInic(i))}

RadioHeFinal(i) = 1 / (PcomMaxHe(i) / [20 x (gc - g)] + 1 / (RadioHeInic(i))} 

Cuando se trata del primer descenso, RadioNiInic(i) = 0,8 micras, para todos los compartimentos y RadioHeInic(i) = 0,7 micras. 

Los radios de las burbujas se expresan en micras (milésimas de milímetro); las compresiones en bares; gc  en Newtons/metro (el Newton es la unidad de fuerza en el sistema MKS) y vale 0,257 N/m;  g en N/m y vale 0,0179 

Cuando la compresión supera el valor de impermeabilidad (8,2 Atm.), el radio final, se determina mediante es siguiente procedimiento: 

Se calcula la profundidad a la que se alcanza la compresión de impermeabilidad, durante el descenso: PcompImp = PAmbImp – PNi(i) –PHe(i) – OtrosGases 

PAmbImp depende de la profundidad en la que se alcanza la compresión de impermeabildad y ésta del tiempo, de forma lineal, pero PNi(i) y PHe(i) dependen del tiempo de forma exponencial, por lo que la variable “Tiempo” no puede extraerse de la fórmula anterior de forma analítica y hay que obtenerla por aproximaciones sucesivas. 

Una forma de realizarlo es tomar la profundidad media del descenso y calcular la compresión existente en ese punto.

Si el valor es igual al de la compresión máxima con una diferencia pequeña (por ejemplo, una milésima de bar), hemos tenido suerte y hemos obtenido la solución a la primera

Si el valor es mayor, se calcula la profundidad media entre la que hemos usado en ese momento y la superficie. Esta nueva profundidad es la que se toma para repetir el proceso. La que hemos usado se convierte en la nueva “profundidad de fondo”.

Si el valor es menor, se calcula una nueva profundidad media entre la que hemos usado en ese momento y la profundidad de fondo. Esta nueva profundidad media es la que se toma para repetir el proceso. La que hemos usado en este paso, se convierte en la nueva “profundidad de superficie”. 

Este bucle se repite hasta que la compresión obtenida en la última “profundidad media” calculada, difiera con la compresión máxima, en un valor que consideremos pequeño (una centésima, o una milésima de bar). 

Mediante este algoritmo (implementado en el programa adjuno), obtenemos:

La presión ambiente de impermeabilidad, PAmbImp(i), para cada compartimento (i)

El tiempo en el que se alcanza la impermeabilidad durante el descenso: TImp(i), para cada compartimento (i)

La tensión de gases disueltos durante la impermeabilidad, igual a la presión existente en el interior de las burbujas, PNiImp(i), PHeImp(i) 

El radio de impermeabilidad podía obtenerse con anterioridad, sin conocer los datos obtenidos, ya que su valor viene dado por           

[2.5]    RadioImpNi(i) = 1 / {PComImp / [20 x (gc - g)] + 1 / [RadioNiInic(i)]}

[2.6]    RadioImpHe(i) = 1 /{PComImp / [20 x (gc - g)] + 1 / [RadioHeInic(i)]} 

Como en el caso anterior, RadioNiInic(i) = 0,8 micras y RadioHeInic(i) = 0,7 

A partir del punto en el que se obtiene la impermeabilidad el tamaño de la burbuja viene gobernada por la ley de Boyle-Mariotte. El radio de la burbuja al llegar al fondo depende de la presión de los gases existentes en el momento de la impermeabilidad en el interior de la burbuja, de su radio de impermeabilidad, de la presión ambiente en ese momento, de la presión ambiente en el fondo y de los valores de gc y g

Aplicando la conocida fórmula de:       P x V = P’ x V’, sustituyendo los valores de P , P’ (presiones de los gases internos a la burbuja en el momento de la impermeabilidad y en el fondo) y V, V’ (Volumen de la burbuja en el momento de la impermeabilidad y en el fondo), y manipulando la fórmula adecuadamente, se obtiene la fórmula siguiente: 

A x (Radio Fondo)3 - B x (RadioFondo)2 – C = 0                  [2.7] 

Siendo

            A = PambFondo – PambImp(i) + TGasImp(i) +

[20 x (gc - g)] / RadioImpNi(i)

            B = 20 x (gc - g)

C = TGasImp(i) x [RadioImpNi(i)]3  

El valor del radio de la burbuja en el fondo es aquel que anula la expresión cúbica [2.7]. Esta fórmula no es resoluble analíticamente, por lo que es preciso obtener su solución por aproximaciones sucesivas. 

En este caso, por tratarse de una función cúbica, el valor de la función con el radio (valor que toma la fórmula al ir cambiando los valores del radio), no es creciente en todo su rango, sino que existe una zona en la que pasa a ser decreciente, tal como aparece en el gráfico adjunto. Para poder emplear el procedimiento de aproximaciones sucesivas, aplicando la media de un intervalo cada vez menor, tenemos que asegurarnos, que en el intervalo de partida, la función es siempre decreciente o creciente y que, en este margen elegido, la curva pasa por su valor nulo, es decir, en este intervalo está incluido el valor que buscamos: el radio de la burbuja en el fondo.

 

 

Manejando matemáticamente la fórmula anterior, se obtienen unos valores del radio, que definen un margen en el que la función cúbica es siempre creciente y que contiene el valor del radio que anula la función, que es la solución que buscamos. Dentro de este intervalo podemos emplear el método de aproximaciones sucesivas, basado en tomar el punto medio de un intervalo que vamos reduciendo hasta obtener un valor que difiera en una cantidad muy pequeña respecto de un valor dado, como por ejemplo, que los valores extremos de los radios del rango de ese momento difieran entre sí, menos de una milésima de micra. 

Los valores extremos del rango de radios de partida, vienen dados por las expresiones:

            RadioFondoMínimo = B / A

            RadioFondoMáximo = RadioImp 

El procedimiento es como en el caso de la presión de impermeabilidad: obtenemos el  radio de fondo medio de los valores extremos anteriores, lo aplicamos a la ecuación cúbica y, dependiendo de que su valor sea positivo o negativo, cambiamos el Máximo o el Mínimo al valor medio actual y calculamos un nuevo valor medio con los nuevos extremos disponibles (habrá cambiado el límite máximo o mínimo, dependiendo que el valor obtenido haya sido positivo o negativo). 

Tras la aplicación del proceso por aproximaciones, obtenemos los radios de fondo de las burbujas: 

            RadioFondoNi(i) y RadioFondoHe(i) 

Uno de los parámetros que usa el modelo VPM para obtener los perfiles de descompresión, es la compresión máxima que haya existido durante toda la inmersión. Por ello es necesario obtenerla. 

En el caso de no haber alcanzado la zona de impermeabilidad, se obtiene mediante las fórmulas [1] y [2] 

Si se ha sobrepasado la zona de impermeabilidad, ya no es posible usar esta fórmula, pues la presión interna de los gases de la burbuja ya no sigue la tensión de los gases disueltos. Las fórmulas que hay que aplicar entonces son las siguientes: 

[2.8]    PComMaxNi(i) = PComImp + PAmbFondo – PambImpNi(i) +

                        + TGasImp(i) x {1 – [RadioImpNi(i)]3 / [RadioFondoNi(i)]3}  

[2.8b]  Simplificando,

PComMaxNi(i) =

            PAmbFondo – TGasImp(i) x [RadioImpNi(i)3 / (RadioFondoNi(i)3

El término que resta, de la parte derecha de la ecuación, representa la presión interna de al burbuja, sometida a la ley de Boyle-Mariotte a partir de la presión de impermeabilidad. 

[2.9]    PcomMaxHe(i) =

PAmbFondo – TGasImp(i) x [RadioImpHe(i)3 / RadioFondoHe(i)3

 

2-B) Ejemplos y comentarios 

Usando el programa adjunto (incluido en la carpeta ZIP “FormulasVPM.ZIP” en la sección de descargas), introduzcamos en la pantalla de entrada los siguientes datos: 

Profundidad: 40 metros

Tiempo de descenso: 2 mintuos

Tiempo de fondo: 20 minutos (no influye en el ejemplo actual)

Tiempo de ascenso: 10 minutos (no influye en el ejemplo actual)

Tiempo de semisaturación del nitrógeno para el compartimento elegido: 77 min.

Porcentaje de nitrógeno: 79%

Porcentaje de oxígeno: 21% 

Al seleccionar el menú de “Compresión” y presionar el botón de “Actualizar”, aparecen datos de compresión y radio de burbujas, para las distintas velocidades de descenso que se consideran en este menú, tanto para el nitrógeno como para el helio. 

Los datos generados para el helio no tienen sentido físico desde el momento en el que no respiramos helio en la mezcla usada. ES debido al artificio matemático usado en el desarrollo del modelo por Baker en el programa que uso como base para este estudio. 

Si anotamos algunos de los valores obtenidos:

                                                                       Velocidades en m/min.

                                               0,1                   1                      10                    20

Compresión en bares              

                        Nitrógeno        1,81                 3,61                 4,06                 4,09

                        Helio                1,81                 3,61                 4,06                 4,09

            Radio en micras

                        Nitrógeno        0,614               0,498               0,476               0,475

                        Helio                0,553               0,458               0,439               0,437 

Deducimos lo siguiente:

Para esta inmersión conlleva muy poca ventaja descender a velocidades superiores a los 10 metros / minuto, en lo que a efectos descompresivos se refiere

La compresión entre nitrógeno y helio es la misma. Solo empiezan a diferenciarse a partir de la profundidad de impermeabilidad, que se encuentra en torno a los 90 metros.

Los radios de burbujas para los dos gases difieren porque el radio considerado como crítico para ambos es distinto (0,8 micras para el nitrógeno, 0,7 para el helio) 

Si introducimos una mezcla distinta para la misma inmersión, añadiendo un 20% de Helio en sustitución del Nitrógeno, que queda con un 59%, los valores obtenidos son:

                                                                       Velocidades en m/min.

                                               0,1                   1                      10                    20

Compresión en bares              

                        Nitrógeno        1,67                 3,39                 4,03                 4,07

                        Helio                1,67                 3,39                 4,03                 4,07

            Radio en micras

                        Nitrógeno        0,625               0,510               0,478               0,475

                        Helio                0,562               0,467               0,440               0,438

 

Observamos que las compresiones disminuyen para todas las velocidades de descenso. Esto es debido a que el Helio se disuelve más rápidamente que el nitrógeno y, por tanto, la suma de gas disuelto es mayor y la compresión menor. 

La consecuencia directa es que los radios de las burbujas de ambos gases son mayores.

 

Introduzcamos ahora los datos siguientes:

Profundidad: 100 metros

Tiempo de descenso: 4 minutos

Tiempo de fondo: 10 minutos (no afecta al ejemplo presente)

Tiempo de ascenso: 20 minutos (no afecta al ejemplo presente)

Tiempo de semisaturación del nitrógeno: 54,3 minutos

Porcentaje de nitrógeno: 35,9%

Porcentaje de oxígeno: 12,7% 

Los resultados de compresión y radio de burbujas son los siguientes: 

                                                                       Velocidades en m/min.

                                               0,1                   1                      10                    20

Compresión en bares              

                        Nitrógeno        1,74                 4,70                 8,93                 9,36

                        Helio                1,74                 4,70                 8,95                 9,37

            Radio en micras

                        Nitrógeno        0,619               0,447               0,320               0,312

                        Helio                0,557               0,414               0,303               0,295

 

Observamos que, a partir de una velocidad de descenso de 10 m/min., se alcanza la compresión de impermeabilidad y que entonces la compresión de nitrógeno y helio ya son distintas debido a que en su cálculo intervienen los radios de cada uno de los dos gases, que son diferentes. 

Para esta profundidad, la velocidad de descenso ideal es la de 20 m/min. ya que la diferencia de compresión con la inferior considerada (10 m/min.) es grande, mientras que con la superior (25 m/min.) es ya inferior a una décima de bar. Una velocidad de descenso grande puede provocar exceso de anhídrido carbónico que va aumentando hasta el momento de alcanzar el fondo, con consecuencias negativas para hiperoxia, narcosis y descompresión. 

Los gráficos obtenidos con los botones “Burbujas” y “Compresión”, reflejan mucho más claramente las conclusiones anteriores.